Kuflu Forum  

Geri Git   Kuflu Forum > Eğitim-Öğretim Dünyası > Ödevler Dünyası > Matematik



Üçüncü Dereceden Denklemler-Cardano Formülleri

Matematik


Yeni Konu aç  Cevapla
 
LinkBack Seçenekler Stil
Alt 23.09.12, 02:44   #1 (permalink)
Müdavim Üye
 
Uygu - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 
Üyelik tarihi: Sep 2012
Mesajlar: 4.304
Teşekkürleri: 1.659
965 mesajına 2.008 kere teşekkür edildi.
Standart Üçüncü Dereceden Denklemler-Cardano Formülleri




Birinci ve ikinci dereceden denklemler katsayılar yardımıyla kolayca çözülebilir. Yalnız 3.dereceden denklemlerin çözümü için Gerolamo Cardano’nun 1545 yılında geliştirdiği bir yöntemden yararlanabiliriz. Cardano bu yöntemi bulurken Tartoglia ve Fior isimli matematikçilerin çalışmalarından da yararlanmıştır.
Çözüm yöntemi aşağıda belirtildiği gibidir.

3. Dereceden Denklemlerin Çözülmesi, Cordano Formülleri

Üçüncü dereceden
ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminde bazı dönüşümler yaparak sonuca ulaşacağız.
Eğer bu denklemde x = y - dönüşümü yapılırsa
denklemi,
y3 + halini alır.
p = , q = olmak üzere y3 + py + q = 0 şeklinde yeni bir dönüşüm yapmış olduk. Şimdi de bu denklemi çözmemiz gerekecek. Bunun için de ilk olarak y = dönüşümü yapıyoruz. Yeni dönüşümümüzle beraber y3 + py + q = 0 denklemi düzenlenirse;
şeklini alır.
ve bilinmeyenleri içeren bu yeni denklemde de . = dönüşümünü yaparak yerine yazıyoruz. Üstteki denklemin yerini = -q, . = sistemi almış oldu.
Son olarak
= N dönüşümüyle
M + N = -q, M.N = M ve N bilinmeyenler olmak üzere z2 + qz = = 0 denklemini elde ettik. Bu denklemin kökleri de 2.dereceden denklem çözümünden;
, olur.
= M olduğundan
= 0
= 0 Buradan
 = 0  ve
 = 0 ,




, olmalı.
Benzer şekilde:
, , bulunur.
y = + olmak üzere toplayacağım ve değerleri
. = koşulunu sağlamalıdır.
görüldüğü gibi ve değerleri sağladı. Buda demektir köklerden biri y1 = + olacaktır.
, değerleri alınırsa iken
olur
ve
olur
Buna göre, y = + olduğundan
y1 =
y2 =
y2 = bulunur. Yani

y1 =
y2 =
y3 =

Burada M =
N = idi.
Burada  = 4p3 + 27q2 işaretine göre köklerin durumunu inceleyebiliriz.

i)  = 4p3 + 27q2 > 0 ise:
M ve N birer gerçel sayıdır, dolayısıyla
y1 = kökü bir gerçel sayı, diğer iki kök ise eşlenik kompleks iki sayıdır.

ii)  = 0 ise:
M ve N = olur. Dolayısıyla
y1 = (Gerçel sayı)
y2 = y3 = (Gerçel sayı)
Yani 3 kök de gerçel sayı olur.

iii)  = 4p3 + 27q2 < 0 ise:
M ve N eşlenik kompleks iki sayı olur.
Bu durumda Cardano formüllerinde bulduğumuz y1, y2, y3 köklerinde bir gerçel sayı, ise gerçel kısmı 0 olan bir kompleks sayı olacağından y1, y2 ve y3 kökleri birer gerçel sayıdır.


y3 + py + q = 0 denkleminin kökleri y1, y2 ve y3 bu şekilde bulunduktan sonra x = y - dönüşümü kullanılarak ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri bulunur.


Alıntı

Uygu isimli Üye şimdilik offline konumundadır   Alıntı ile Cevapla
Cevapla


Currently Active Users Viewing This Thread: 1 (0 members and 1 guests)
 
Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
Konu Acma Yetkiniz Yok
Cevap Yazma Yetkiniz Yok
Eklenti Yükleme Yetkiniz Yok
Mesajınızı Değiştirme Yetkiniz Yok

BB kodu Açık
Smileler Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-Kodu Kapalı
Trackbacks are Açık
Pingbacks are Açık
Refbacks are Açık



Tüm Zamanlar GMT +2 Olarak Ayarlanmış. Şuanki Zaman: 21:06.


Powered by vBulletin® Copyright © 2017 vBulletin Solutions, Inc. All rights reserved.
2008-2016 Her hakkı kendinde saklı olan forum.
Sitemiz bir forum sitesi olduğu için kullanıcılar paylaşımlarını önceden onay almadan anında siteye yazabilmektedir. Bu yazılardan dolayı doğabilecek her türlü sorumluluk yazan kullanıcılara aittir. Yinede sitemizde yasalara aykırı unsurlar bulursanız iletisim adresine bildirebilirsiniz, şikayetiniz incelenip en kısa sürede gereken yapılır.