Bağıntı, Çeşitleri ve Özellikleri,Kartezyen Çarpımı

'Matematik' forumunda Uygu tarafından 23 Eyl 2012 tarihinde açılan konu

  1. Uygu

    Uygu New Member

    Kartezyen çarpım : İlk elemanı birinci kümeden , ikinci elemanı ikinci kümeden gelen ikililerin oluşturduğu kümeye denir.

    Örnek 1: A = {1,2,3} ve B = {a,b} ise

    AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} olur.

    BxA = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} şeklinde yazılır.

    Örnekte görüldüğü gibi

    [​IMG]

    ( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ).

    Yine örnekte görüldüğü gibi A kümesinin 3 , B kümesinin 2 elemanı vardır. AxB kümesinin eleman sayısı ise 6 ‘dır. Böyle olması tesadüf değildir.

    Çünkü kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ; kartezyen çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

    Aynı sebeple BxA kümesinin eleman sayısı da 6 ‘dır. Yani kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği olmamasına karşılık her kümenin eleman sayıları eşittir ( Denk kümeler ).

    [​IMG]

    ( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur )

    s(AxB) = s(BxA) = s(A) s(B) ( Denk kümeler )

    Bağıntı : Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt kümesine denir. Eğer bağıntı, AxB ‘nin alt kümesi ise o bağıntıya A’dan B’ye bir bağıntı denir. Buradaki birinci küme, bağıntının tanım kümesi ; ikinci küme ise bağıntının değer kümesi olarak adlandırılır.

    “n” elemanlı bir kümenin tüm bağıntılarının sayısı 2n olduğundan dolayı A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 2s(A)s(B) ‘ dir.

    Örnek 2: s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 220 olur. Tabii ki aynı şekilde B’den A’ya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 220 ‘dir.

    Örnek 3 : A = {1,2,3} ve B = {1,2,a,b} olmak üzere A’dan B’ye bir bağıntı tanımlayalım :

    ={(1,1),(2,1),(2,2),(3,a) } ise grafik ile gösterimi şöyle olur :

    [​IMG]


    : A B olmak üzere tanımlanmış bağıntının tanım kümesi A,

    değer kümesi B, görüntü kümesi ise C ‘dir.

    NOT : : A B ( A’dan B’ye bir bağıntıdır diye okunur)

    C = (A) = { (1), (2), (3)} = {1,2,a} kümesine görüntü kümesi denir ve her zaman değer kümesi ile aynı anlama gelmeyebilir.

    Örnek 4 : s(A) = 4 olduğuna göre A’ dan A’ya yazılabilecek bağıntıların kaç tanesi 3 elemanlıdır ?

    Çözüm : s(AxA) = 16 olduğundan ve 16 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı

    [​IMG] olur.



    Örnek 5 : A={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan

    ={(a,a),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d)} bağıntısını grafik ile gösteriniz:

    Çözüm :

    [​IMG]

    Bağıntıların özellikleri :

    1. Yansıma özelliği : Bir A kümesi üzerinde tanımlanan bağıntı , A kümesinin tüm elemanları için yazılabilecek (x,x) ikililerini içeriyorsa yansıyandır.

    2. Simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içeriyorsa simetriktir.

    3. Ters simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içermiyorsa ters simetriktir.

    4. Geçişme özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini ve (y,z) ikilisini içerirken aynı anda (x,z) ikilisini de içeriyorsa geçişkendir.



    Bağıntı çeşitleri :
    1. Denklik bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya denklik bağıntısı denir.

    2. Sıralama bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya sıralama bağıntısı denir.


    Örnek 6: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
    = {(1,1),(2,2),(1,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
    Çözüm :
    A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan,
    (1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içermediğinden ters simetrik,
    (1,1) ve (1,2) varken (1,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir.
    Bu 3 özelliğin sonucu olarak da sıralama bağıntısıdır.

    Örnek 7: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
    = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
    Çözüm :
    A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan,
    (1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içerdiğinden simetrik,
    (2,1) ve (1,2) varken (1,1) ve (2,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir.
    Bu 3 özelliğin sonucu olarak da denklik bağıntısıdır.

    Örnek 8: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
    = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
    Çözüm : Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir.
    Tüm özellikleri sağlamasının sonucu olarak da hem denklik hem de sıralama bağıntısıdır.
    Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir.

    Örnek 9: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
    = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(1,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
    Çözüm :
    (3,3) ikilisini içermediği için yansıyan değil ;
    (1,3) ikilisinin tersi olmadığı için simetrik değil ;
    aynı anda hem (1,2) hem de (2,1) ikililerini içerdiği için ters simetrik değil ; (2,1) ve (1,3) varken (2,3) olmadığından dolayı da geçişken değildir.
    Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olmayabilir.

    Örnek 10: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
    = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
    Çözüm :
    (3,3) ve (4,4) ikililerini içermediği için yansıyan değil ;fakat simetrik ve geçişkendir.
    : A ® A ve s(A) = n olmak üzere

    Tanımlanabilen bağıntı sayısı ;[​IMG]

    Tanımlanabilen yansıyan bağıntı sayısı ;[​IMG]

    Tanımlanabilen simetrik bağıntı sayısı [​IMG] ‘ dir.


    *

    Alıntı
     

Bu Sayfayı Paylaş