Kartezyen çarpım : İlk elemanı birinci kümeden , ikinci elemanı ikinci kümeden gelen ikililerin oluşturduğu kümeye denir. Örnek 1: A = {1,2,3} ve B = {a,b} ise AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} olur. BxA = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} şeklinde yazılır. Örnekte görüldüğü gibi ( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ). Yine örnekte görüldüğü gibi A kümesinin 3 , B kümesinin 2 elemanı vardır. AxB kümesinin eleman sayısı ise 6 dır. Böyle olması tesadüf değildir. Çünkü kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ; kartezyen çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir. Aynı sebeple BxA kümesinin eleman sayısı da 6 dır. Yani kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği olmamasına karşılık her kümenin eleman sayıları eşittir ( Denk kümeler ). ( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ) s(AxB) = s(BxA) = s(A) s(B) ( Denk kümeler ) Bağıntı : Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt kümesine denir. Eğer bağıntı, AxB nin alt kümesi ise o bağıntıya Adan Bye bir bağıntı denir. Buradaki birinci küme, bağıntının tanım kümesi ; ikinci küme ise bağıntının değer kümesi olarak adlandırılır. n elemanlı bir kümenin tüm bağıntılarının sayısı 2n olduğundan dolayı Adan Bye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 2s(A)s(B) dir. Örnek 2: s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise Adan Bye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 220 olur. Tabii ki aynı şekilde Bden Aya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 220 dir. Örnek 3 : A = {1,2,3} ve B = {1,2,a,b} olmak üzere Adan Bye bir bağıntı tanımlayalım : ={(1,1),(2,1),(2,2),(3,a) } ise grafik ile gösterimi şöyle olur : : A B olmak üzere tanımlanmış bağıntının tanım kümesi A, değer kümesi B, görüntü kümesi ise C dir. NOT : : A B ( Adan Bye bir bağıntıdır diye okunur) C = (A) = { (1), (2), (3)} = {1,2,a} kümesine görüntü kümesi denir ve her zaman değer kümesi ile aynı anlama gelmeyebilir. Örnek 4 : s(A) = 4 olduğuna göre A dan Aya yazılabilecek bağıntıların kaç tanesi 3 elemanlıdır ? Çözüm : s(AxA) = 16 olduğundan ve 16 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı olur. Örnek 5 : A={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan ={(a,a),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d)} bağıntısını grafik ile gösteriniz: Çözüm : Bağıntıların özellikleri : 1. Yansıma özelliği : Bir A kümesi üzerinde tanımlanan bağıntı , A kümesinin tüm elemanları için yazılabilecek (x,x) ikililerini içeriyorsa yansıyandır. 2. Simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içeriyorsa simetriktir. 3. Ters simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içermiyorsa ters simetriktir. 4. Geçişme özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini ve (y,z) ikilisini içerirken aynı anda (x,z) ikilisini de içeriyorsa geçişkendir. Bağıntı çeşitleri : 1. Denklik bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya denklik bağıntısı denir. 2. Sıralama bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya sıralama bağıntısı denir. Örnek 6: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan = {(1,1),(2,2),(1,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim : Çözüm : A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan, (1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içermediğinden ters simetrik, (1,1) ve (1,2) varken (1,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir. Bu 3 özelliğin sonucu olarak da sıralama bağıntısıdır. Örnek 7: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim : Çözüm : A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan, (1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içerdiğinden simetrik, (2,1) ve (1,2) varken (1,1) ve (2,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir. Bu 3 özelliğin sonucu olarak da denklik bağıntısıdır. Örnek 8: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim : Çözüm : Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir. Tüm özellikleri sağlamasının sonucu olarak da hem denklik hem de sıralama bağıntısıdır. Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir. Örnek 9: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(1,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim : Çözüm : (3,3) ikilisini içermediği için yansıyan değil ; (1,3) ikilisinin tersi olmadığı için simetrik değil ; aynı anda hem (1,2) hem de (2,1) ikililerini içerdiği için ters simetrik değil ; (2,1) ve (1,3) varken (2,3) olmadığından dolayı da geçişken değildir. Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olmayabilir. Örnek 10: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim : Çözüm : (3,3) ve (4,4) ikililerini içermediği için yansıyan değil ;fakat simetrik ve geçişkendir. : A ® A ve s(A) = n olmak üzere Tanımlanabilen bağıntı sayısı ; Tanımlanabilen yansıyan bağıntı sayısı ; Tanımlanabilen simetrik bağıntı sayısı dir. * Alıntı