Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir. Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar Asal polinomlar denir. * P(x) = x2 + 4 , Q(x) = 3x2 + 1, R(x) = 2x 3 , T(x) = - x + 7 Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır. P(x) = x2 + 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur. Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir. * a) x3 (x2 2x) = x5 2x4 b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik değildir. ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER I) Tam Kare Özdeşliği: a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b) İki Terim farkının Karesi : (a b)2 = a2 2ab + b2 İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır. c) Üç Terim Toplamının Karesi: (a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir. II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü : a) İki Terim Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 b) İki Terim Farkının Küpü : (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikincinin küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom Açılımıda denir Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak 4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli lerin özdeşliklerini de yazabiliriz.z. III) İki Kare Farkı Özdeşliği: (a + b) (a b) = a2 b2 İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir. IV) xn + yn veya xn - yn biçimindeki polinomların Özdeşliği : i) İki küp Toplam veya Farkı : a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2) a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2) ii) a4 + b4 = (a + b) (a3 a2b + ab2 b3) a4 b4 = (a2 + b2) (a + b) (a b) iii) a5 + b5 = (a + b) (a4 a3b + a2 b2 ab3 + b4) a5 b5 = (a b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4) iv) a6 + b6 = (a + b) (a5 a4b + a3 b2 a2b3 + ab4 b5) a6 b6 = (a b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2) v) a7 + b7 = (a + b) (a6 a5b + a4b2 a3b3 + a2b4 ab5 + b6) a7 b7 = (a b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6) Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz 1) x2 + y2 = (x + y)2 2xy 2) x2 + y2 = (x y)2 + 2xy 3) (x y)2 = (x + y)2 4xy 4) (x + y)2 = (x y)2 + 4xy 5) x3 y3 = (x y)3 + 3xy (x y) 6) x3 + y3 = (x + y)3 3xy (x + y) 7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 2 (xy + xz + yz) 1) İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır? x2 + y2 = (x + y)2 2xy 2ab = 289 145 145 = (17)2 2ab 2ab = 144 ab = 72 C= 72 2) a b = 6 (a + b)2 = (a b)2 + 4ab (a + b)2 = 44 a . b = 2 = ( 6 )2 + 4.2 (a + b) = a + b = ? = 36 + 8 = 3) a 2b = 3 ise; a2 + 4b2 = ? a2 + 4b2 = (a 2b)2 +2. a2b a . b = 2 = ( 3 )2 + 2. 2 .2 = 17 4) a + b = 12 ise; a . b = ? (a + b)2 = (a b)2 + 4ab 4 ab = 108 a b = 6 ( 12 )2 = ( 6 )2 + 4ab ab = 27 5) ise; x2 + y2 = (x y)2 + 2xy 20 6) ise; Ç = {- 4 , 4} 7) m + n =8 x3 + y3 = (x + y)3 3xy(x + y) m . n = 1 m3 + n3 = (m + n)3 3mn (m + n) m3 + n3 = ? = ( 8 )3 3 . 1 . 8 = 488 8) a3 b3 = 50 x3 y3 = (x y)3 + 3xy(x y) a b = 2 ise; a3 b3 = (a b)3 + 3ab(a b) a . b = ? 50 = 8 + 6ab 6ab = 42 ab = 7 9) ise; x3 y3 = (x y)3 + 3xy(x y) = ( 3 )3 + 3.1.( 3 ) = 36 10) ise; x3 + y3 = (x + y)3 3xy(x + y) 198 11) a + b + c = ? a2 + b2 + c2 = (a + b + c) 2(ab + aç + bc) ab + ac + bc = 12 = ( 7 )2 2 ( 12 ) a2 + b2 + c2 = ? = 49 24 = 25 12) ise; = 15 13) ise; C = 120 14) ise; C = 63 15) ise; C = 154 16) ise; C = 75 17) ise; C = 999 ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI 1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma : Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır. Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır. 1) Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız. a) 3a + 3b = 3(a + b) b) 5m 10mn = 5m (1 2) c) 12x + 9y =3(4x + 3y) d) 3a2b 2ab2 = ab (3a 2b) e) 3ax + 3ay 3az f) (a b) x + 3 (a b) g) (m n) (a + b)(m n) h) a b x2 (a + b) ı) x2(p 3) + ma2 (3 p) i) 1 2x + m (2x 1) 2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma : Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı ortak çarpanlarına ayrılır. 2) a) mx + ny + my + nx b) xy xb yb + b2 c) x4 4 + 2x3 2x d) 2x2 3x 6xy + 9y e) x3 x + 1 x2 f) x4 x + x3 1 g) ab(c2 d2) cd (a2 b2) h) ac2 + 3c bc 2ac 6 + 2b ı) mn(zi + y2) + zy (m2 + n2) i) a2b2 + 1 (a2 + b2) 3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma : Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı nın iki katı ortadaki terimi veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 2ab + b2 = (a b)2 3) a) x2 + 4xb + 4b2 b) 4a2 + 12ab + 9b2 c) 4a2b2 4abc + c2 4) a) a2b + 8ab +16b3 b) 2m3 28m2 +98m c) 4x3y 12x2y2 + 9xy3 4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma : Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır. a2 b2 = (a + b) (a b) 5) a) 25 9a2b2 b) x4 1 c) (m n)2 (m + n)2 6) a) 18x2 2y2 b) 2a2b3 32b c) 12x3y 75xy5 7) a) 9a2 6a +1 b2 b) x2 12x + 36 4y2 c)16m2 n2 6n 9 d)1 x2 2xy y2 e) m2 n2 3m + 3n f) a2 25b2 a + 5b g) a2 4m2 12mn 9n2 h) 9a2 16m4 12axy + 4x2y2 5) İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri Çarpanlara Ayırma: a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2) , a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2) 8) a) a3 + 8 b) 8 m3 c) x3 + 1 d) 27a3 64 e) x3a3 + b3 9) a) 81m3 3n3 b) 24x3y 3y c) 2x + 54x4 10) a) (x +y)3 8 b) a3 + 8(a - b)3 c) (m n)3 + 1 6) xn yn biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma: 11) a) x4 + 1 = (x + 1) (x3 x2 + x 1) b) x4 1 = (x2 + 1) (x + 1) (x 1) c) x5 + 25 = (x + 2) (x4 2x3 + 4x2 8x + 16) d) x5 1 = (x 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) 7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma: Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir 12) 4x4 + 7x2 + 4 ifadesini Çarpanlarına ayırınız. 4x4 + 7x2 + 4 = 4x4 + 7x2 + 4 + x2 x2 = 4x4 + 8x2 + 4 x2 = (2x2 + 2)2 x2 2x2 2 = (2x2 + 2 x) (2x2 + 2 + x) 2.2x2.2 = 8x2 = (2x2 x + 2) (2x2 + x + 2) 13) x2 6x + 5 ifadesini xli terimin kat sayısının yarısının karesini ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız. x2 6x + 5 + 32 32 = (x2 6x + 32) 32 + 5 = (x 3)2 4 = (x 3 2) (x 3 + 2) = (x 5) (x 1) 14) a) m2 + 2m 24 b) a4 + a2 + 1 c) 16a4 + 4a2b2 + b4 d) a2 6ab + 8b2 +2b 1 (Not: b2 yi bir ekleyip - çıkar ) 8) x2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma : Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız. Çarpımları (+) ise işaretleri aynı, Çarpımları () ise işaretleri farklı Toplamları (+) (+) olur Toplamları (+) büyüğü (+) olur Toplamları () () olur Toplamları () büyüğü () olur 15)a) x2 + 5x + 6 b) x2 5x + 6 c) x2 + 7x + 6 d) x2 7x + 6 e) x2 + 5x 6 f) x2 5x 6 g) x2 + x 6 h) x2 x 6 ı) x2 7x 18 i) x4 x2 30 k) m2 6m 27 l) x2 3xy 10y2 m) x2 2x + 3 n) x2 13x + 30 o) x2 + 2y2 3xy 9) ax2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma : ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q) mx p nx q (mx.q + nx.q = bx oluyorsa) 16) 6x2 + 7x 3 = (3x 1) (2x + 3) olur. 3x 1 (3x . 3 1. 2x = 9x 2x = 7x olduğundan) 2x + 3 17) a) 3x2 2x 8 b) 3x2 7x + 2 c) 2m2 + 5mn 12n2 d) 8a2 2ab b e) 4x2 + 21x + 5 f) 36a2 33ab 20b2 g) 4m2 + 11m 3 h) 6a2 + 5a 6 ı) 12a2 8ab 15b2 i) 2m2 10m + 12 k) 3x2 + 3x 18 l) 3 n2 + 30n + 48 18) a2 + 2ab + b2 = 3 ve c2 + 2ac + 2bc = 6 ise; a + b + c = ? c2 + 2ac + 2bc = 6 T.T.T a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)2 = 9 Ç = {-3, 3} 19) 91) x = 4 , y = 2 ise, x5 5x4y + 10x3y2 10x2y3 + 5xy4 y5 = ? a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256 x5 5x4y + 10x3y2 10x2y3 + 5xy4 y5 = (x y)5 = (4 2)5= 32 20) 97) , ise; a) 6 b) 8 c)10 a + b yerine ab yazılırsa (a . b)2 2ab 24 = 0 olur. a .b = y diyelim. y2 2y 24 = 0 y 6) (y + 4) = 0 y = - 4 ve y = 6 21) ise, C = 8 olur. (özdeşlikte yerine yazalım ) 22) ise; C = 36 olur. (özdeşlikte yerine yazalım ) 23) ise; C = 12 olur. (yerine yazalım ) 24) işleminin sonucu kaçtır? 123 =153 30 ve 183 =153 + 30 yazılırsa =153 olur * Alıntı
