Bir Dar Açının Trigonometrik Oranları ABC dik üçkeninde: c b a a : karşı dik kenar uzunluğu b hipotenüsün uzunluğu A c B c : karşı dik kenar uzunluğu d hipotenüsün uzunluğu a : karşı dik kenarın uzunluğu c komşu dik kenarın uzunluğu c = komşu dik kenarın uzunluğu şeklinde ifade edilir. a karşı dik kenarın uzunluğu Trigonometrik Oranlar Arasındaki Özellikler: 0<A<90 olmak üzere, birbirini 90 ye bağlayan iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir. sin Â+cos Â= 1 dir. Sin Â= cos (90-Â) Tan  . cot Â= 1 dir. Birbirini 90 ye bağlayan iki açıdan birinin Tanjantı, diğerinin kotenjantına eşittir. tan Â= cot (90-Â) sin  tanÂ= cos  cos  cotÂ= sin  Trigonometri Cetveli: Trigonometrik oranlar tablosu incelenirse, şu özelliklerle karşılaşılır: Bir dar açının ölçüsü 1 den 89 ye kadar artarsa: Sinüsü 0,0175 ten 0,9998 e kadar artar, Kosinüsü 0,9998 den 0,0175 e kadar azalır, Tanjantı 0,0175 ten 57,2900 e kadar artar, Kotenjantı 57,2900 den 0.0175 e kadar azalır. Trigonometrik olayların artışı yada azalışı açı ile orantılı değildir. Yani açı 2,3,4,....... kat büyüdüğünde bunun kosinüsü de 2,3,4,....... kat büyümez. ÖRNEK: Cos 40=4cos10 dir. KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR Örnek 1: Sin10. Tan30. Cos20. Sin30 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? Cos80. Cot60.sin70 (1996-DPY) Çözüm: Sin10=cos80 Tan30=cot60 Cos20=sin70 dir. Bunları, verilen ifadede yerine koyalım. Cos80. Cot60. Sin70. Sin30 = cos80.cot60. sin70 =sin30 Örnek 2: 15 0<s(x)<90 ve cos x= ise, tan x aşağıdakilerden hangisidir? 20 (1994 FL) Çözüm: A Buna göre pisagor bağıntısından; Y*=17*-15* 17 y*=289-225 y=8 birimdir. Veya 8,15,17 özel üçkeninden y nin 8 olduğunu B 30 C bulabiliriz. 15 |ac| 8 buna göre tan x = = olur. |bc| 15 ÖRNEK 3: A Şekilde [AH] [BC], 5 5 Tan B= ve tan c= ise, 8 13 B H C ABC üçkeninin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir? (1991 FL) ÇÖZÜM: h 5 8h Tan B= = ise , p = P 8 5 h 5 13h Tan C= = ise, k = k 13 5 8h 13h 21h |BC| =P+K = + = 5 5 5 |BC| .|AH| A(ABC) = 2 1 21h 21 21 A(ABC)= . .h = h* = |AH|* olur. 2 5 10 10 Örnek 4: Sin*x + cos*x = 1 olduğuna göre Sin x cos x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir ? Sin x cos x (1990 FL) Çözüm: Sin x cos x sin x cos x = = (sin* x + cos* x) . (sin* x cos* x) 1. (sin* x cos* x) (sin x cos x) = (sin x + cos x) . (sin x cos x) 1 = olur. sin x + cos x Örnek 5: C Şekildeki ABC dik üçgeninde s(Â)=90 ve A,b,c kenar uzunluklarını gösterdiğine göre, (sin b)* + (sin c)* ifadesi aşağıdakilerden B a hangisidir ? (1993 FL) A c B Çözüm: b c Sin(B) = ve sin© = a a b* c* b* + c* (sin B)* 4 (sin C)* = + = a* a* a* pisagor bağıntısından a* = b* + c* olduğundan a* (sin B)* + (sin C)* = = 1 olur. a* Örnek 6: Sin 30 . cos 60 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir ? 2 tan 45 A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 2 4 8 14 Örnek 7: Sin 53 1- ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir ? cos 37 A) 2 B) - 1 C) 0 D) 1 2 2 Örnek 8: 1 (cos x). (tan x) . ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir ? sin x A) 1 B) 0 C)cos x D) sin x Örnek 9: A Şekildeki ABC üçkeninde, cotg B + cotg C =4 ve |AH| = 3 cm ise, |BC| kaç cm dir ? (1996-FL/AÖL) 3 cm B C A)8 B)10 C)12 D)14 Örnek 10: D C Aşağıdakilerden hangisinde verilenlerle şekildeki ABCD dikdörtgeninin çevresi bulunamaz ? A) |AB| ile |BC| nin çarpımı A a B B)|BC| ve sin a C)|AC| ve sin a D)|AB| ve |BC|
Trigonometrinin başlangıcı Mısır ve Mezopotamyaya dayanmaktadır. Dâirenin 360 dereceye bölümü bu zamandan kalmadır. Astronomideki gelişmelere paralel olarak kürevî trigonometri de gelişmiştir. M.Ö. 4. yüzyılda Hinduların trigonometriyi astronomide kullandıkları bilinmektedir. İskenderiyeli Claudius Ptolemy, Almagest adlı eserinde (M.Ö. 150) trigonometrik oranlara yer vermiştir. Müslümanlar trigonometride önemli gelişmeler kaydetmişlerdir. El-Battanî (850-929) kürevî üçgende kosinüs teorisini ortaya koymuştur. Ebül-Vefâ (940-998) kürevî üçgende sinüs teoremini bulmuş, trigonometrik cetvel hazırlamıştır. Nasîreddin-i Tûsî (1201-1247) ilk defâ düzlem ve kürevî trigonometriyi, astronomiden ayırarak matematiğin bir bölümü olarak ele alıp, bu konuda ilk eseri veren matematikçi olmuştur. Önceleri topoğrafya, denizcilik ve astronomide kullanılan trigonometri, 17. asırdan îtibâren büyük gelişme göstermiştir. Trigonometrik fonksiyonlar, ters trigonometrik fonksiyonlar incelenmiş, kompleks sayılarla ilgili araştırmalar yapılmış, elektrik devreleri ve ses dalgalarının analizinde kullanılmış, Trigonometrik seriler ve daha ileri konulara geçilmiştir. Trigonometri denince akla gelen ilk kavram, bir açının trigonometrik oranlarıdır. Bu oranlar bir dik üçgende bir dar açı için tanımlanır. Trigonometrik oranlar, üçü esas, üçü de bunların tersi olmak üzere altı tânedir. Dar açıların trigonometrik oranları: Bir ABC dik üçgeninde (B= 90°) bir dar açının altı trigonometrik oranı sıra ile sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant, kosekant olup A dar açısı için: Sin A= Cos C, Cos A= Sin C, tan A= Cot C, Cot A= tan C olduğu görülür. Bu özellik dolayısıyla trigonometri cetvelleri 45° ye kadar yapılmaktadır. Herhangi bir açının trigonometrik oranları: Târif edilen trigonometrik oranlar, dik açıdan büyük açılarda geçerli olmaz. Bütün açıların trigonometrik oranlarını bulmak için birim çember denen çember kullanılır. Birim çember, merkezi orjinala olan birim yarıçaplı çemberin dik koordinat sisteminde çizilmiş şeklidir. Üzerinde pozitif yön (saat yelkovanının ters yönü) seçilmiştir. Çember üzerinde birinci bölgedeki bir noktayı başlangıç noktasına birleştiren doğru ile Ox ekseninin pozitif yönü arasında kalan açı A olunca trigonometrik fonksiyonların A açısı için değerleri aşağıdaki şekilde tanımlanır: Geniş açıların (İkinci bölgedeki açıların) trigonometrik oranları: Sin (p A) = Sin A Cos (p A) = Cos A tg (p A) = tg A Cos (p A) = CotA Üçüncü bölgedeki açıların trigonometrik oranları: Sin (p + A) = Sin A Cos (p + A) = Cos A tg (p + A) = tg A Cot (p + A) = CotA Dördüncü bölgedeki açıların trigonometrik oranları: Sin (2 p A) = Sin A Cos (2 p A) = Cos A tg (2 p A) = tg A Cot (2 p A) = CotA 360°den büyük açıların trigonometrik oranları hesaplanırken, birim çemberde dönme yapılarak hesaplanır. Böyle hesaplama trigonometrik fonksiyonların periyodik olma özelliğine dayanır. 1000°nin sinüsü hesaplanırken açıda iki tam dönme kabul edilip 280° nin sinüsü hesaplanır. Dönme sayısı k olduğuna göre 36°den büyük açıların trigonometrik oranları için aşağıdaki eşitlikler kullanılır: Sin (2k p + A) = Sin Atg (k p + A)= tgA Cos (2k p + A) = Cos ACot (kp + A)= CotA Trigonometrik özdeşlikler: a) Sin2x + Cos2 x= 1 tgx.Cotg x = 1= Sin2x + Cos2x b) Toplama formülleri: Sin (x+y) = Sin x Cosy + Siny Cosx Sin (x-y) = Sinx Cosy Siny Cosx Cos (x+y) = Cosx Cosy Sinx Siny Cos (x-y)= Cosx Cosy + Sinx Siny c) Yarım açı formülleri: Sin 2x= 2Sinx Cosx Cos 2x= Cos2x - Sin2x= 1-2Sin2x = 2 Cos2x-1 d) Dönüşüm formülleri: e) Sinüs, kosinüs ve tanjant teoremleri: Kosinüs Teoremi: b2 = a2+c2 - 2ac CosB c2 = a2+b2 - 2ab CosC Herhangi bir ABC üçgeninde geçerli olan bu teoremler üçgen çözümlerinde çok kullanılır. Alıntı
